Александр Павлович Цветков родился 19 апреля (по старому стилю 7 апреля) 1890 года в городе Кадникове, Сокольского района Вологодской области. Окончил с серебряной медалью Вологодскую гимназию.
По окончании гимназии учился в Военно-медицинской академии в Петербурге, но был исключен как «неблагонадежный». Продолжил свое медицинское образование в Юрьевском, а затем в Московском университете.
В разгар империалистической войны в звании зауряд-врача А. П. Цветков ушел на фронт. Служил в военных госпиталях.
В марте 1918 года он сдал государственные экзамены, получил диплом лекаря с отличием.
В годы гражданской войны А. П. Цветков участвовал в работе госпиталей в Вологде, Няндоме, Архангельске, Риге. После демобилизации в 1922 году он приехал в Вологду.
В течение 5 месяцев состоял ассистентом П. П. Мокровского в губернской больнице. Затем А. П. Цветков работал хирургом в железнодорожной больнице.
Будучи избран в 1924 году по конкурсу заведующим хирургическим отделением Вологодской губернской, а потом (с 1944 года) городской больницы № 1, города Вологды.
В годы Великой Отечественной войны А. П. Цветков был главным хирургом эвакогоспиталя № 1184.
С введением в 1944 году в облздраве должности главного хирурга, Александр Павлович Цветков был назначен на эту должность и, не оставляя заведования хирургическим отделением первой городской больницы Вологды, работал главным хирургом Вологодской области до 1949 года.
А. П. Цветков одним из первых в области стал оказывать хирургическую помощь детям.
В 1958 году Александра Павловича Цветкова вологжане избрали депутатом в Верховный Совет СССР.
Правительство страны высоко оценило самоотверженный труд А.П. Цветкова, наградив его орденом Ленина, двумя медалями, знаком «Отличник здравоохранения», присвоив почетное звание «Заслуженный врач РСФСР».
Умер Александр Павлович Цветков 13 сентября 1963 года.
Источник: Эстафета хирургии: Краткая история хирургии и служб хирургического профиля старейшей больницы Вологодской области / [И.Я. Авдонин, А.А. Анаховский, Т.И. Белова и др.] — Вологда: Полиграфист, 2000